מתימטיקה גופנית

Home  >>  Uncategorized  >>  מתימטיקה גופנית

מתימטיקה גופנית

On May 21, 2004, Posted by , In Uncategorized, With Comments Off on מתימטיקה גופנית

לקרוא את מרלו-פונטי (ואודותיו) הביא אותי למצב של חסד בו החיבור בין התודעה לגוף נחווה יותר מקרוב. אני הולך ברחוב או יושב בפארק והגוף כל כך חי. הראיה מתרחשת בגוף כולו, השמיעה קולטת פוליפוניה עשירה ובהירה מהרגיל. העולם נהיה סמיך הרבה יותר, עמוק יותר. צעדי מהדהדים בדיוק במקומם. גם המדיטציה דחוסה יותר.

ההשפעה החזקה הזו אינה תוצאה של רעיון חדש שגיליתי אצל מרלו-פונטי. הרי הדברים שהוא תיאר אינם זרים לי. ההשפעה הזו חזקה כאילו זכיתי לשהות במחיצתו של מרלו-פונטי ולא רק לקרוא את רעיונותיו. אני נוכח – ולא בפעם הראשונה – שלמילים הנכונות יש את היכולת להעיר בי דברים עמוקים ובכך יש להן כוח שחורג בהרבה מהאינטלקטואלי.

איני רוצה לחטוא לחסד החוויה הישירה של מרלו-פונטי ולכתוב רעיונות. במה שקראתי בשבועות האחרונים ראיתי איך כותבים שונים נתלים בתגליות של מרלו-פונטי לא על מנת לחיות כי אם על מנת לבסס עליהן תיאוריות. הגדילה לעשות כותבת אחת שבמאמר בן מספר עמודים השתמשה שוב ושוב (הפסקתי לספור אחרי הפעם ה-15) במילים “מושג הגוף החי (של מרלו-פונטי)”, בלי להיות מודעת לאירוניה העמוקה שבדבר. אני מקווה שיש טעם בדברים שלהלן ושאצליח לכתוב את החוויה שלי ולא את מחשבותיי.

ביום קסום אחד לפני מספר שבועות ידעתי את העולם רגע אחרי רגע בכל גופי. בזמני פלא כאלו כשהעולם נודע מקרוב, האינטימיות נוכחת הן ברחוב סואן ממכוניות והן כשהמרחב נפתח, מתרווח ונרגע. בזמנים כאלו חוויה ורפלקסיה יכולות לדור בכפיפה אחת מבלי להאפיל זו את זו. חושב ומרגיש וחש הרהרתי האמנם אין ידיעה שאיננה גופנית. רגשות הם גופנים לעילא (זה אינו חדש) וידיעת העולם – הדברים המתחוללים סביבי – היא תמיד תוך הדהודו של הגוף. באותו רגע הרמתי את מבטי לסקור בניין. השתאיתי מיופיו. מה גורם למילה “יפה” לחלוף במחשבה, כיצד אנחנו מזהים יופי? ידיעת יופיו של הבניין ההוא היתה פיזית והתרחשה בריכוך החזה ופתיחתו.

אבל מה לגבי מחשבה מופשטת והידיעה הנלווית אליה? כפי נראה זו אינה גופנית. המחשבה הזו חלפה במוחי כשעיני ניתקו מהבניין ובאותו רגע התיישבו כמה דברים במקומם, שאלות ישנות נצבעו באור חדש.

האקסיומטיזציה של המתמטיקה החלה בסוף המאה ה-19 וקיבלה את ביטויה השלם והמלא במחצית הראשונה של המאה ה-20. העולם המתמטי – זה של מספרים, צורות גיאומטריות וכדו’ – שמלכתחילה היה עולם של אידיאות ולא של אובייקטים ממשיים, נהיה חומרי מדי, לא טהור מספיק עבור מתמטיקאים. מאמציהם של הטובים שבהם הופנו למציאת כללי היסוד – האקסיומות – שיהוו בסיס “אמיתי” לעשייה המתמטית וישחררו אותה מאובייקטים קונקרטיים. כך למשל ענף הטופולוגיה (שלצורך הפשטות נאמר שהוא גיאומטריה מודרנית) הושתת על “קבוצות פתוחות” שאופי הגדרתן נעדר כל סממן קונקרטי: הן אינן נתונות בצורה מפורשת (למשל קווים ישרים שמחקו להם את נקודות הקצה או עיגולים שמחקו את ההיקף שלהם) אלא צריכות לקיים מספר תכונות. למשל שהקבוצה המתקבלת מצירוף שתי קבוצות פתוחות זו אל זו היא גם קבוצה פתוחה. המתמטיקאי הדגול דייויד הילברט ניסח זאת (בערך) כך: “מתמטיקה היא משחק בסמלים חסרי משמעות”. הילברט ועמיתיו היו משוכנעים שמתמטיקה טובה היא כזו שמשוחררת ממשמעות.

אני זוכר איך בהרצאה הראשונה בה שמעתי את האקסיומות הללו הרגשתי זרות גדולה. על הלוח היו כתובים מספר כללים, פשוטים מאוד ובו בזמן חסרי פשר. הם לא דיברו אלי. אחרי מספר שבועות האקסיומות הללו נהיו מובנות והקורס הזה היה אחד האהובים עלי בתואר הראשון. אני זוכר גם את המעבר מהזרות וה”לא מדבר אלי” אל המובנות. בעצם, “הבנה” ו”מובנות” הן לשון המעטה. אלו הן מילים דלות שאינן עושות צדק עם גודל האירוע שהן לכאורה מתארות. שכן לפתע הכללים חסרי הפשר הללו קיבלו חיים, לפתע יכולתי לראות דרכן עולם שלם (כל כך קונקרטי) שיש לו חיים שאותם גם יכולתי להרגיש. חיים ואינטימיות הן המילים שבהן תמיד השתמשתי כדי לתאר את המעברים הללו – כשמה שנלמד הופך לפתע להיות שלי, כששאלה/בעיה/חידה סתומה נפתחת פתאום והכל נהיה גלוי. תמיד תהיתי על המעברים הללו וכעת המימד הגופני שלהם ברור כשמש: הרי חיים ואינטימיות נחווים דרך הגוף.

במאמר מוסגר, נראה לי חשוב לציין שבוויכוח בין אלו המהללים השכלה וידע ואלו הטוענים שמגזימים בערכם, שוכחים כולם להסתכל על מה שחשוב באמת: לא הידע הוא העניין כאן כי עם המצב –האינטימי, החושני – שנקרא לדעת.

וכך, אחרי שנזכרתי בגופניות שלי כמתמטיקאי (שבעבר לא ייחסתי לה מספיק תשומת לב) התברר לי חיש קל עד כמה מערב המעשה המתמטי את הגוף החי. אתה שובר את הראש על בעיה – מספר דקות, שעות או שבועות. פתאום מופיע הפיתרון, יש לך תשובה. ברגע הזה ישנה תגובה גופנית ברורה. הגוף שמח ומרגיש את ההרמוניה שהושגה כאילו לא מדובר כאן בעניינים מופשטים אלא בכניסה לאגם צונן ביום קיץ או התרווחות אל תוך ספה מרופדת היטב.

אפשר לחשוב שמדובר בלא יותר מאשר תגובה פיזית לשמחה על הפיתרון שהושג אבל לא זה העניין. הגוף ממש יודע – מרגיש ישירות – את הפיתרון: בהתמודדות עם הבעיה עולים רעיונות שונים ואסטרטגיות מגוונות. וכשחולף במחשבה הכיוון הנכון לפיתרון ישנו זיהוי מיידי (עוד לפני שהפיתרון עצמו התרחש) והזיהוי הזה הוא תחושה גופנית – של חיות, של התחברות.

גם מקרים של טעויות ופתרונות שגויים הם עדות להשפעתו של הגוף על המתמטיקאי. מתמטיקאים – גם מתמטיקאים מחוננים – טועים. אני לא מתכוון לטעויות חשבון אלא להסקת מסקנה מוטעית מתוך מספר לא גדול של טיעונים קודמים. אפשר היה לצפות שדי במיומנות בסיסית על מנת להימנע מטעויות כאלו. חוקי הלוגיקה הם פשוטים למדי והאובייקטים המתמטיים – מאיימים ככל שיהיו עבור אדם מן הישוב – כפופים לחוקים שהופכים את העולם המתמטי לנשלט בהרבה מהעולם האמיתי. אפשר היה לצפות שמוח מבריק ומיומן לא יטעה בעולם הזה. ובכל זאת הם טועים שוב ושוב.

מה מסיח את דעתו של המתמטיקאי כך שהוא אינו שם לב שחרג מן הכללים המוכרים לו? כשאני משחזר טעויות מתמטיות שלי אני נוכח שגם אליהן התלוותה תחושה גופנית – של שמחה, של אנרגיה – והיא מיסכה את הטעות הלוגית שהיה אפשר לזהות בלי שום מאמץ. במובן הזה, המתמטיקאי אינו עובד כמו מכונה – מחשב – צעד אחרי צעד בהתאם לכללי ההיסק המותרים לו. המתמטיקאי בא במגע עם העולם המתמטי, מגע שהוא פסגת יכולות החשיבה המופשטת שלנו אבל מערב גם את הגוף.

כבר כמה שנים שאינני עושהמתמטיקה ומה שפעם היה עיקר עיסוקי נהיה היום זיכרון מרוחק. על מנת לוודא שאיני בודה דברים מופרכים מהרהורי ליבי בדקתי עם שניים. עם המנחה שלי לשעבר ועם חברי ללימודים בועז קרני. שניהם הכירו את החוויות שתיארתי כאן.

הערה קטנה לגבי בינה מלאכותית שבבסיסה עומדת ההנחה שחשיבה, למידה, הקניית משמעות, קביעת העדפות וכו’ הן עניינן של היכולות המופשטות שלנו בלבד. בעשורים הראשונים של הניסיון לייצר מוח חושב מכאני הושקע מאמץ רב בלמצוא דרכים לייצג את המציאות: אם למחשב יהיה סמל עבור כל אובייקט עימו הוא בא במגע ואם יהיו לו הכללים הנכונים (אלגוריתם) על מנת לנתח את הסמלים הללו הרי שהוא יוכל לפעול כהלכה בהתאם למטרות שברצונו להשיג. נכון להיום הניסיון הזה נכשל כישלון חרוץ (אם כי, אני לא באמת מבין בבינה מלאכותית). היו שתקפו את קו המחשבה הזה – יוברט דרייפוס הוא כנראה המבקר הבולט – בטענם שהאני החושב מבין את המציאות מתוך הקשר ושההקשר הזה גם אינו כלול באוסף הייצוגים והכללים שלנו וגם עשיר ודינאמי מכדי להיתפס על ידי אוסף כלשהו של כללים. נראה לי שקו ישר מחבר בין הניסיון – המוצלח – של הילברט לרוקן את המתמטיקה ממשמעות (או הקשר) לבין הניסיון של הבינה המלאכותית ליצר תבונה יש מאין בעזרת אוסף סמלים וכללי פעולה. לא שהילברט שגה, המתמטיקה שלו אכן יפהפיה, אבל מעניין להצביע על כך שמה שנכון בשביל המתמטיקה אינו בדיוק נכון בשביל המתמטיקאי. כך או כך, אם – כפי שתיארתי למעלה – במתמטיקה שהיא אב הטיפוס לחשיבה מופשטת נדרשת מעורבות גופנית אז ודאי שגם בפעולות ארציות יותר אי אפשר להסתמך רק על כלי חישוב מהירים ואלגוריתמים מתוחכמים.

לאחרונה נתקלתי בבלוג הזה. למרבית הצער הוא היה פעיל חודשים בודדים בלבד אבל גם כך הוא אוצר בלום של אינפורמציה על התחום שנקרא Embodied cognition.

בין השאר מצאתי שם איזכור של ספר בשם Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being מאת רפאל נונז (Raphael Nunez)וג’ורג’ לאקוף (George Lakoff). אני סקרן לדעת למה הם מתכוונים. הזמנתי את הספר ואני מקוה שיהיו לי דברים מעניינים לספר אחרי שאקרא אותו.